作者：郑晓敏

  自从PECORA和CARROL于20世纪90年代初首先提出用PC方法实现混沌系统同步后，混沌同步已经引起了学者们的广泛关注，并随之出现了多种同步方法。

  近年来，混沌同步已广泛应用于工程领域，如保密通信、化学化工、航空航天等，其中在混沌通信中，混沌系统的参数被调制成信息的携带者，它能在接收端通过混沌同步被解码。利用混沌信号的复杂性和连续宽频带，将有用信号隐藏在其中，从而达到保密通信的目的。具体实现混沌保密通信，接收端和发送端混沌同步是前提。在各种同步方法中，观测器方法是一种较为理想的同步方法，它易于工程实现，且不需要计算Lyapunov指数。其中，文献[12]将状态观测器设计与相空间重构起来，用任意标量信号同步一类混沌系统，但其所设计的控制器较复杂；文献[13 - 14]基于状态观测器方法实现了混沌系统的同步，其设计过程中需知道系统的精确模型；文献[15]通过设计一个非线性状态观测器的方法来实现混沌系统同步，但存在两个缺点：1）要求系统所有状态变量均有界，而在系统未实现同步前假设观测器状态是有界的缺乏理论依据；2）所给的控制律，虽然能实现同步，但是当所需控制能量很大时，很难正确估计控制增益的大小。基于上述讨论，本文在文献[15]的基础上进行了改进，利用线性矩阵不等式( LMI)方法给出了混沌系统同步的充分条件和控制器设计方法，所得到的控制器结构简单且易于实现，克服了文献[12 - 15]中方法的不足，最后利用所设计的观测器，给出了一个保密通信方案，并通过对蔡氏电路数值模拟验证了所提方法的有效性。

1  问题的描述

考虑如下一类混沌系统

2  状态观测器的设计和混沌同步的实现

  针对g结构已知和g结构未知两种情况分别没计状态观测器。

2.1 g结构已知

定理1对于g结构已知的情况，若存在正定阵P>O和矩阵W使得下面线性矩阵不等式成立

则通过设计观测器( I)（其中取L=P-W），可实现与式(1)混沌系统同步，即lime(t)=0。

证明取Lyapunov函数V=e‘Pe，P>O，对V关于误差e求导得

显然，如果下式成立，则lime(t)=0。

应用矩阵的舒尔补性质（引理2），式(6)等价于矩阵不等式

式(7)（关于P，L）不是线性的，为便于用Matlah中的LMI工具箱求解，记W=PL，将式(7)转化成（关于P，W的）线性矩阵不等式

若线性矩阵不等式(8)有可行解：P >0，W=PL，则观测器增益可取为L=P-1W。

2.2 g结构未知

第二种情况，若g结构未知，观测器(I)将无法实现，为此设计观测器(Ⅱ)，即

式中：B为适当维数的矩阵；u为要设计的控制器。

观测误差方程为

对式(13)最后一项应用引理1，得

由假设2得

式中：s(t)为被加密的信号；M(t)=瓯(￡)+s(￡)为发送端的输出信号。

若g结构未知，接收端采用定理2的状态观测器

若g结构已知，接收端采用定理1中的状态观测器

接收端按下式解密

4仿真例子

  本节中，将给出两个例子，以验证混沌同步及其在保密通信中的应用。

  例1  考虑蔡氏电路'13：同步问题。系统为

由式(21)、式(22)可得误差方程为

图1~图3是同步误差变化图，从图像可看出，当t>1s时，误差都接近零。从而说明所设计的观测器的确实现了与蔡氏系统的混沌同步。

  接下来，给出混沌同步在保密通信中的应用的仿真例子。

例2在发送端取蔡氏混沌系统（其中的f，L和其他参数同例1）。

5  结论

基于线性矩阵不等式( LMI)技术给出了混沌同步的充分条件和混沌同步观测器设计方法，同时给出观测器参数计算方法，并且将该同步方法应用到保密通信中，仿真例子验证了方法的有效性和可行性。

6摘要：针对一类状态不能全部测量且含有不确定因素的混沌系统的同步问题，基于LMI方法设计了一个非线性观测器；观测器增益和混沌系统同步控制器的实际设计可以通过求解一个线性矩阵不等式获得；另外利用设计的观测器，给出了一个保密通信方案。最后通过对蔡氏电路数值模拟验证了所提方法的有效性。