小学数学两位数乘法速算法解析
摘要：小学数学教师在教授两位数乘法教学中经常会向学生介绍便捷的速算方法，既开拓了学生思维，又有效地提高了学生的计算能力。本文尝试对最为常见的几种两位数乘两位数的速算方法进行学理上的分析，以使教师既能知其然，还能知其所以然，便于教师进一步有效地向学生传授速算的技巧。
论文关键词：小学数学,教学,两位数乘法,速算法
两位数乘法是小学数学教学的重要内容，教师在教学中经常会教给学生一些便捷的速算方法。这些速算法既有利于拓展学生的思维，提高学生的计算能力，又可以提升学生对数学的学习兴趣，增加学习过程的趣味性。因而，不失为小学数学教学的一种有益补充。但作为教师，除了熟记两位数乘法速算口诀外，还应对两位数乘法速算法本身有一学理上的认识，才能对算法本身“知其然且知其所以然”，真正做到心中有数。
以下是对几种最常见的两位数乘两位数速算法的分析，仅供参考。
一、“头同，尾和10”算法分析
1、速算要领
“头同，尾和10”算法口诀：头加1乘头，两尾乘积接后头（不足两位十补0）。是指个位数字之和是10，十位数字相同的两个两位数相乘时，则用第一个两位数十位上的数字加1，乘以第二个两个位数十位上的数字，其乘积构成该两个两位数乘积结果的前两位；而两数个位数字的乘积，则构成该两个两位数乘积的后两位（如果个位数的乘积不满10，则在其乘积结果前补0形成两位），再把两个乘积所形成的两个两位数顺序排列，就形成了“头同，尾合10”两位数的乘积结果。
图1 尾数乘积不足两位算法图例
图2 尾数乘积为两位算法图例
2、算法分析
依据速算口诀，将其转化为科学计数法表示为：有（10a+b）与（10a+d）两个两位数相乘，且b+d=10，求证：（10a+b）×（10a+d）=100a（a+1）+b·d。
证明：根据代数式（10a+b）×（10a+d）运算可得：
（10a+b）×（10a+d）=10a×10a+10ad+10ab+bd=10a×（10a+b+d）+bd
又∵b+d=10
∴10a（10a+b+d）+b·d=10a（10a+10）+b·d=10a×10（a+1）+b·d
故证：（10a+b）×（10a+d）=100a（a+1）+b·d
对结果的形象表述，即是这一算法的基本口诀：AB和AD两个两位数相乘，且B+D=10。其结果为四位数EFGH，其中EF=A·（A+1），GH=B·D。
二、“尾同，头和10”算法分析
1、速算要领
“尾同，头和10”算法口诀：头乘头加尾，两尾乘积接后头（两尾乘积不足10时在十位上补0）。是指两个两位数相乘时，如果两数的个位数字相同，而十位数字之和是10，则以两个两位数十位上的数字相乘后加上任一两位数的个位之和，构成该两位数乘积结果的前两位；而用两位乘数个位上的乘积（如不满两位则在十位补0），则组成该两位数乘积结果的后两位，再把两个乘积所形成的两个两位数顺序排列就形成了“尾同，头合10”两位数的乘积结果。
图3 尾数乘积不足两位算法图例
图4 尾数乘积为两位算法图例
2、算法分析
依据速算口诀，将其转化为科学计数法则为：有（10b+a）与（10d+a）两个两位数，且b+d=10，求证：（10b+a）×（10d+a）=100（b·d+a）+a·a。
证明：根据代数式(10b+a)×（10d+a）运算可得：
（10b+a）×（10d+a）=10b×10d+10b×a+a×10d+a·a=10b·10d+10a(b+d)+a·a
又∵b+d=10
∴10b·10d+10a(b+d)+a·a=100b·d+100a+a·a=100×（b·d+a）+a·a
对结果的形象表述，正是这一算法的基本口诀：BA和DA两个两位数相乘，且B+D=10。其结果为四位数EFGH，其中EF=B·D+A，GH=A·A。
三、“尾5，头和偶”算法分析
1、速算要领
“尾5，头和偶”算法口诀：头乘头加头和折半，两尾乘积接后头。是指在两数相乘时，如果个位数字是5，十位数字之和是偶数，则其十位数之积与十位数和的一半之和，构成该两位数乘积的前两位，而两数个位数之积则构成了该两位数乘积的后两位，按顺序组合之后，就形成了该两位数的乘积。
图5 “尾5，头和偶”算法图例
2、算法分析
依据速算口诀，将其转化为科学计数法则为：尾数为5的两个两位数(10b+5)与（10d+5），且b与d之和为偶数，求证：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d)/2]+5×5
证明：根据代数式(10b+5)×（10d+5）运算可得：
（10b+5）×（10d+5）=10b×10d+10b×5+5×10d+5×5=10b·10d+50×(b+d)+5×5
又∵b+d=偶数
∴10b·10d+50(b+d)+5×5=100bd+100(b+d)/2+5×5
故证：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d)/2]+5×5
对结果的形象表述，正是这一算法的基本口诀：尾数为5的两位数B5和D5，且B+D=偶数。其乘积为四位数EFGH，其中EF=B·D+(B+D)/2，GH=5×5。
四、“尾5，头和奇”算法分析
1、速算要领
“尾5，头和奇”算法口诀：头乘头加头和减1折半，两尾乘积加50接后头。是指在两数相乘时，如果个位数字是5，十位数字之和为奇数，则其十位数之积与十位数和减1后一半之和，构成该两位数乘积的前两位，而两数个位数之积再加50则构成了该两位数乘积的后两位，按顺序组合之后，就形成了该两位数的乘积。
图6 “尾5，头和奇”算法图例
2、算法分析
依据速算口诀，将其转化为科学计数法则为：尾数为5的两个两位数(10b+5)与（10d+5），且b与d之和为奇数，求证：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d-1)/2]+5×5+50
证明：根据代数式(10b+5)×（10d+5）运算可得：
（10b+5）×（10d+5）=10b×10d+10b×5+5×10d+5×5=100bd+50×(b+d)+5×5
又∵b+d=奇数，为能被整除，需把奇数转化成偶数
∴100bd+50(b+d)+5×5=100bd+50(b+d)-50+5×5+50=10b·10d+50(b+d-1)+5×5+50
故证：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d-1)/2]+5×5+50
对结果的形象表述，正是这一算法的基本口诀：尾数为5的两位数B5和D5，且B+D=奇数，则其乘积为四位数EFGH，其中EF=B·D+(B+D-1)/2，GH=5×5+50。
五、“头5，尾和偶”算法分析
1、速算要领
“头5，尾和偶”算法口诀：头乘头加尾和折半，两尾乘积接后头。是指如果十位数是5，个位数字之和是偶数，可用速算。
图7 “头5，尾和偶”算法图例
2、算法分析
依据速算口诀，将其转化为科学计数法则为：十位数为5的两个两位数(10×5+b)与（10×5+d），且b与d之和为偶数，求证：（10b+5）×（10d+5）=100[5×5+(b+d)/2]+b·d
证明：根据代数式(10×5+b)×（10×5+d）运算可得：
(10×5+b)×（10×5+d）=100×5×5+50b+50d+b·d=100×5×5+50×(b+d)+b·d
又∵b+d=偶数
∴100×5×5+50×(b+d)+b·d=100×5×5+100×(b+d)/2+b·d
故证：（10b+5）×（10d+5）=100[5×5+(b+d)/2]+b·d
对结果的形象表述，正是这一算法的基本口诀：十位数为5的两位数5B和5D，且B与D之和为偶数，则其乘积为四位数EFGH，其中EF=5×5+(B+D)/2，GH=B·D
六、“头5，尾和奇”算法分析
1、速算要领
“头5，尾和奇”算法口诀：头乘头加尾和减1折半，两尾乘积加50接后头。是指十位为5、个位数相加之和为奇数的两个两位数相乘，其十位数字的乘积与个位数之和的一半的和，构成该两个两位数乘积的前两位，而两数的个位乘积加50的和则构成了该两个两位数乘积的后两位，最后把前两位与后两位按顺序排列，即形成该两个两位数的乘积。
图8 “头5，尾和奇”算法图例
2、算法分析
依据速算口诀，将其转化为科学计数法则为：
证明：根据代数式(10×5+b)×（10×5+d）运算可得：
(10×5+b)×（10×5+d）=100×5×5+50b+50d+b·d=100×5×5+50×(b+d)+b·d
又∵b+d=奇数，为能被整除，需把奇数转化成偶数
∴100×5×5+50×(b+d)+b·d=100×5×5+50×(b+d)-50+b·d+50=100×5×5+50(b+d-1)+5×5+50
故证：(10×5+b)×（10×5+d）=100[5×5+(b+d-1)/2]+b·d+50
对结果的形象表述，正是这一算法的基本口诀：十位数为5的两位数5B和5D，且B与D之和为奇数，则其乘积为四位数EFGH，其中EF=5×5+(B+D-1)/2，GH=B·D+50
七、“和整百”算法分析
1、速算要领
“和整百”算法口诀：一个因素百倍减去它的平方数。是指两个相乘的两位数，如果两数之和正好100，则其乘积为任意一个因数的100倍与该因素平方之差，即为这两个两位数之乘积。
图9 “和整百”算法图例
2、算法分析
依据速算口诀，将其转化为科学计数法则为：有两个两位数A和B，且A+B=100，求证：A·B=100B-B·B或者A·B=100A-A·A。
证明：∵A+B=100
∴A·B=（100-B）·B
故证：A·B=100B-B·B
同理可证：A·B=100A-A·A
对结果的形象表述，正是这一算法的基本口诀：和为100的两个两位数相乘，其积等于其中一个因素的100倍减去其该因素平方的差。
八、“通用法”算法分析
1、速算要领
“通用法”算法口诀：头乘头接尾乘尾，加十倍两两头尾乘积之和。是指毫无规律的任意两个两位数相乘，其结果为该两位数的十位相乘，所得的结果与该两位数个位相乘的结果排列成一个三位或四位数字，在加上该两位数内项与外项乘积之后的10倍，其结果就是该两位数的乘积。
图10 十位乘积不足两位算法
图11 十位乘积不足两位算法
2、算法分析
依据速算口诀，将其转化为科学计数法则为：有任意两个两位数（10a+b）与（10c+d），求证：（10a+b）×（10c+d）=100ac+bd+10（bc+ad）。
证明：根据代数式（10a+b）×（10c+d）运算可得：
（10a+b）×（10c+d）=100ac+10ad+10bc+bd
故证：（10a+b）×（10a+d）=100ac+bd+10（bc+ad）
对结果的形象表述，即是这一算法的基本口诀：任意两个两位数AB和CD相乘，其结果为EFGH+10IJ。其中，EF=A·C，GH=B·D，IJ=B·C+A·D.
以上速算方法比较直观简单，在教学中需将速算口诀详加讲述与说明，在学生掌握后，两位数乘两位数的乘法结果便可以在很短时间内迅速准确地计算出来。
参考文献：
①王仕尧.两位数乘两位数速算简介[J].四川教育.1986,2.
