论文摘要：函数是中学数学的一个核心概念，数列是特殊的函数，本文通过三个问题及其三个变式的详细研究，加深学生对数列是特殊的函数的认识和理解，在问题冲突中寻求解题策略，灵活地进行问题转换；在联想与反思中寻求变通。关注知识的自然生成过程和解题思路的自然生成。从而有效地落实新课标的精神。
论文关键词：函数,数列,转换,变通
　　从宏观上说，数学中一切问题的解决都离不开转换。美国数学家波利亚特别强调转换在解题中的作用，他指出：解体的过程实际上就是一个不断对问题转换的过程。所谓转换，就是指思维能从一类对象或情境迅速地转到另一类内容不同的对象或情境。他是思维灵活性的一个重要体现，是求异思维的基础。因而，转换是数学思想方法的灵魂。
　　1、问题提出
　　宿州市十三校重点中学2008-2009学年度第一学期期中考试高二数学第12题：设数列{a}，a=n+kn(n
　　此题作为选择题中的压轴题得分率仅为31.3%。笔者先后找了8名做错学生进行个别访谈，发现存在许多问题：概念不清，不会运用a>a;有的学生知道运用a>a得出k>-2n-1而无法进行转换得出正确答案；计算出错；有的学生能够联系二次函数但画图不到位，没能考虑到数列的特殊性而错选答案C、D等等。针对上述出现的问题，笔者在试卷分析时开设一节专题，对数列的单调性进行了探究。不妥之处，敬请指正。
　　2、课堂摘录
　　问题1数列{a}是单调递增数列，且a=kn+1(n∈N)，求实数k的取值范围。
　　T：同学们知道，对于数列{a}，当a>a时，它是单调递增数列；当a时，它是单调递减数列。这道题怎样做呢？
　　S1：∵{a}是单调递增数列，∴k(n+1)+1>kn+1,即k>0。故k的取值范围是（0，+∞）。
　　反思1T：从通项公式看，由于数列是特殊的函数，从函数的观点看，a是n的一次函数，从结果上看，两者的单调性是相同的。因此，数列的单调性可以借助于函数的单调性来切入。
　　变式1、数列{a}是单调递减数列，且a=kn+m(n∈N，m是常数)，求实数k的取值范围。
　　T:那位同学说说这道题的解法？
　　S2：因为a是n的一次式且是单调递减数列，所以k＜0
　　T：非常好，掌声鼓励。
　　点评：通过实例让学生体验“数列是特殊的函数”，用函数的观点来统摄数列问题，同时为下一个问题作好铺垫。
　　问题2数列{a}是单调递增数列，且a=n+kn(n，则实数k的取值范围是（）。
　　（A）（-3，+∞）（B）[-3，+∞）（C）（-2，+∞）（D）[-2，+∞）
　　S2：∵{a}是单调递增数列，∴(n+1)+K(n+1)>n+kn，化简得k>-2n-1，。。。但是没有选项。
　　T：一般来说，求得实数k的取值范围不应含有字母，仔细观察通项，能否转换一下角度？
　　S3：从通项公式看a是关于n的二次式，可以利用二次函数的单调性来解答。由于数列{a}是单调递增数列，而a=1>0因此有-k/2，k>-2。应选C
　　S4：不对，应该是-k/2≤，得k≥-2。应选D
　　T：如果是二次函数的单调递增，S4是对的。这是数列的单调性问题，数列和函数一样吗？究竟选哪一个呢？不妨我们一起来画一下草图。
　　S5：不一样，数列是特殊的函数。
　　T：很好，那么特殊性是什么呢？
　　S6：特殊性就在于n∈N，它的图像是散点图而不是连续曲线。
　　T：非常好，那么对称轴n=-k/2能否大于1呢？画图试试看。
　　S7：通过平移对称轴n=-k/2我们发现1，如果-k/2≥3/2，那么a≤a与题设不符。从而我们得出k∈（-3，+∞）故选A
　　T：S7同学回答得非常好，她通过平移抛物线给出了正确的答案。掌声祝贺。请看下面一道题：
　　变式2、数列{a}是单调递减数列，且a=-n+kn(n，求实数k的取值范围。
　　同学们认真地画图，积极地思考，不一会儿有的同学举起了手。
　　S8：∵数列{a}是单调递减数列，∴k/2＜1.5，即k＜3
　　点评：抓住问题实质，适时点拨，让学生“动”起来，通过直观图形来建构知识，通过挖掘差异使学生真正体会“数列是特殊的函数”。
　　反思2T：通过以上的探究，我们体会到数列的单调性可以转换到函数的单调性来处理，但又有自己的特殊性。如果a是关于n的三次式呢？请看问题3
　　问题3数列{a}是单调递增数列，且a=n+kn(n，求实数k的取值范围。
　　T：对于三次函数以前我们很少涉及到，也不知道它的图像和性质，显然，无法运用函数的单调性来处理，怎么办呢？
　　S（合）：回到定义中去（波利亚语）
　　S9：∵{a}是单调递增数列，∴a>a即(n+1)+K(n+1)>n+kn，化简得k>-3n-3n-1，这是关于n的不等式，仍不是一个确定的实数。。。
　　T：当我们对面临的问题产生困惑时，最好的办法就是：回到题目中去，对条件进行再一次解读。“{a}是单调递增数列”指的是什么？
　　S10：当n[1，+∞），a>a恒成立。
　　T：很好，k>-3n-3n-1就意味着不等式在n[1，+∞）恒成立。那么k>（-3n-3n-1），这就转化为求函数f（n）=-3n-3n-1的最大值，显然f（n）在n[1，+∞）是减函数，它的最大值就是-7，即k>-7。 那么如何解k>-2n-1？
　　S10:由于f（n）=-2n-1是减函数，所以n=1时f(n)最大值是-3，即k∈（-3，+∞）。这与用函数的方法求得结果是一致的，并且比它更简单。
　　T：谁来总结一下解这类问题的通法？
　　S11：根据题意，得出含有n不等式，然后求f(n)在n[1，+∞）最值
　　T：你总结得非常好！概括出这类问题的通法。谁来做下面一题？
　　变式3数列{a}是单调递减数列，且a=kn+n(n，求实数k的取值范围。
　　S12:∵数列{a}是单调递减数列，∴a＜a，即k(n+1)+n+1＜kn+n，整理得k(2n+1)＜-1，∵2n+1＞0，∴k＜，显然，当的最小值为-1/3，故k＜-1/3.
　　T：S12回答得非常精彩，过程细致完整，答案准确无误，这是我们解题时必须做到的。每做完一道题，我们都要回过头来看一看，悟一悟，有无最简的方法？过程是否规范？答案是否正确？从而形成良好的解题习惯。
　　反思3数列是特殊的函数，用函数的性质研究数列的单调性是可行的，但当我们面临陌生的函数（三次函数）不知道他的性质时，无法建立起联系，用数学家玻利亚的一句话：“回到定义中去”。从而建立不等关系，当得出的结果与要求不一致时（如k>-2n-1），回到题目中去，对条件进行再一次解读。从而转化为不等式恒成立问题，因而揭示了数学的本质。
　　3、教后感悟
　　教的真谛在于导，学的成功在于悟，课堂教学的根本在于启发学生如何去想，让学生用内心创造与体验来学习，将数学知识与学生的日常生活更好地糅合在一起。作为一线教师，就需要经常反思我们的教学，感悟教学的实质。
　　3.1加深学生对数列是特殊的函数的认识和理解。
　　自从20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分的综合。”因此，函数已成为高中数学的核心概念。高中数学必修5（北师大版）第一章《数列》第一节安排了“数列的函数特性”这一内容，以数列的单调性为主线，从定义和图像两个方面，让学生认识数列是特殊的函数。那么只知道数列是自变量n是正整数，图像是一些孤立点就行了吗？如何让学生进一步理解数列是特殊的函数呢？必须抓住两个关键词“函数”、“特殊性”。于是本文设计了三个问题：第一个问题的用意在于让学生懂得数列与函数是相通的。体现数列的“函数性”。但数列又不等同于函数，通过问题2来体现它的“特殊性”。如果按二次函数的单调性来处理应选D，这是一个错误的答案，为什么呢？通过教师的引导，学生的探究，平移对称轴来理解数列的“特殊性”，形成对数列是特殊的函数的意义建构。
　　3.2关注解题过程的自然生成。
　　依据数列的单调性的定义我们设计了问题1，学生能够较容易的得出结果，我们并不急于出现问题2，而是让学生与一次函数的单调性相比较，发现它们是相通的，使学生初步感受到数列是特殊的函数。接下来问题是通项公式是关于n的二次式，按照S2的解法没有答案，我们并没有立即告诉学生如何做（为下文埋下伏笔），而是让他们用二次函数单调性的方法来解决，很快得出答案D，但这个答案是错误的，为什么呢？通过平移抛物线（运动变化的直观演示有利于对知识形成意义建构）让学生发现正确的答案。与二次函数的单调性解法相比较，体会数列的‘特殊性’。三次函数的图像和性质对学生来说相对陌生，问题3又如何解呢？用波利亚的一句话：回到定义中去。这就会再次出现含有n的不等式，是巧合，还是有什么规律？这就不得不使学生来面对并解决这个问题。通过数列→函数→不等式，使他们之间有机的联系起来，有利于形成知识组快，便于储存和提取。如果一开始就告诉学生用数列→不等式来解决，不但失去了使学生经历问题冲突→问题转化→问题解决这一过程，而且也失去了对“数列是特殊的函数”认识与理解，更重要地失去了一次如何揭示数学本质的大好时机。
　　3.3落实新课标
　　新课标指出：“学生的数学学习活动不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生学习过程成为‘再创造’过程”。每上完一节课，我们都要回顾一下新课标落实情况。根据新课标精神，笔者概括出“三多”理念。即：多动多思多交流。多动就是动脑想一想，动手做一做，动笔画一画，动口说一说；多思就是想一想条件有什么用？想一想“辅助元”如何添？想一想过程如何写？想一想解法如何优？想一想解后有何得？多交流就是把自己的想法或做法与同学或老师经常交流，达到优势互补，形成对知识和方法的意义建构，更有利于提高自己的解题能力和对问题的理解能力。罗增儒教授指出：数学解题是一种创造性活动，谁也无法教会我们所有的题目，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种无限道题的数学机智。笔者认为，数学机智就是在“三多”中挖掘解题规律，揭示数学本质，进行适当转化，实现有效的变通。
参考文献
1 钟小霖 求值问题的几种常见转换 中等数学 1998年第4期
2 薛金星 高中数学解题方法与技巧 北京教育出版社 2003年3月
3 波利亚著,涂泓等译, 怎样解题 上海科技教育出版社,2002。
4 王学青 数学感悟学习案例评析 《中学数学教学参考》 2005。7
5 罗增儒 解题分析,应该有“第二过程”的暴露 《中学数学教学参考》 2008。10