论文导读:：本文首先对伊藤过程的理论推导进行概述。在理论回顾的基础上，讨论了股票价格变化的伊藤过程，并在假设不分红利的情况下，进行股票价格动态的模拟实验。然后，又对伊藤过程的预测效果进行了实证研究。
论文关键词：布朗运动，伊藤过程，股票价格

　　价格是金融工程的核心问题，金融产品价格的确定和预测一直是理论界和实务界的热点问题，尤其对于股票价格的变化规律，人们使用各种方法和工具进行了很多的研究。本文采用实证方法，利用描述股票价格变化的伊藤过程，对此进行了研究。
　　一、理论概述
　　（一）倍数模型
　　倍数模型认为任何时间的资产价格都在某种程度上依赖于以前的价格，模型具有如下形式：
　　
　　其中表示时间k的资产价格。变量规定了时间k与时间k+1之间的价格相对变化，这个相对变化是，它既独立于，也独立于价格单位，且每个（k=0，1，2，…，N-1）是相互独立的随机变量。
　　在方程两边取自然对数，倍数模型将变为：
　　
　　（二）随机游走和维纳过程
　　为了得到股票价格的连续时间模型布朗运动，需要在倍数模型中引入特殊的时间的随机函数，称为随机游走和维纳过程。
　　假定有N个长度为的时期，通过如下关系式定义可加过程z：
　　
　　
　　其中。这个过程被称为随机游走。在这个方程中，是均值为0，方差为1的随机变量——标准化正态随机变量，这些随机变量是互不相关的。这个随机游走过程开始于，之后根据随机变量的随机性变化形成一个特定的轨道。
　　控制论的发明人维纳在1923年指出，布朗运动在数学上是一个随机过程，提出了用“随机微分方程”来描述，因此人们也把布朗运动称为维纳过程。当时，将随机游走过程取极限就得到一个维纳过程，将表示维纳过程的方程符号化后写成：
　　
　　其中是标准正态随机变量。当时，随机变量与是不相关的。对维纳过程的这种描述并不严格，但它提供了一个很好的直觉描述。
　　维纳过程（或布朗运动）是所有其他更一般的过程的基本构建材料，这种一般化是通过在场微分方程中加入白噪声而实现的论文格式范文。一般化程序中最简单的拓展就是广义维纳过程，它具有如下形式：
　　
　　这里对于t，是随机变量，z是维纳过程，a和b是常数。
　　（三）伊藤过程
　　日本数学家伊藤发展建立了带有布朗运动干扰项的随机微分方程，该方程描写的过程就是伊藤过程，具有如下形式：
　　
　　其中z表示维纳过程。但是，现在的系数和可能取决于x和t。伊藤过程可看成为一般化的维纳过程，它直接把布朗运动理解为随机干扰，从而赋予了布朗运动最一般的意义。
　　（四）股票价格变化的伊藤形式
　　布朗运动是随机涨落的典型现象，一般地说，许许多多的宏观观测都要受到布朗运动的限制。法国经济学家Bachelier把股价的变动理想化为布朗运动，在此基础上，经济学家把伊藤过程方程用于描写股票价格的行为过程，伊藤过程已成为采用最为广泛的描述股票价格变化的随机过程模型。
　　首先将前面提高的股票价格的倍数模型扩展为连续时间模型，形式为：
　　
　　这里v和是常数，而z是标准维纳过程。方程的整个右边是随机变量在离散事件模型中所扮演的角色，它可以看成是一个常数加上一个零均值的正态随机变量，因此布朗运动，从总体上看，它是一个正态随机变量。
　　应用方便了模型的推导，并且体现了该随机过程是对数正态分布倍数模型的直接推广。但是，用本身来表示这个随机过程是很有用的。
　　在普通微积分中，我们知道：
　　
　　但在伊藤过程中改变变量时必须应用一个矫正项。用表示的适当的伊藤过程是：
　　
　　注意到矫正项恰好与对数正态随机变量的期望值表达式要求的一样。令，于是可以将这个方程写成价格动态的标准伊藤过程：
　　
　　其中可以认为是股票的回报微分。
　　因此，为更确切地描写股票价格的行为过程，伊藤过程方程被修正为：
　　
　　其中S表示股票价格，为股票价格的预期收益率，为股票价格波动率，z是标准维纳过程。等式右边表示时间内股票的收益，其中第一项表示这种收益的期望值，第二项表示这种影响期望收益的随机因素。
　　人们把这个方程称为股价方程，由伊藤过程描述的股价方程是一个正向的随机微分方程。从确定的出发，根据布朗运动的随机变量在0-t之间的形态来推断轨线的统计行为。
　　由伊藤方程可以推导出，股票价格的变化服从对数正态分布，即：
　　
　　而且有：
　　，
　　由正态分布的性质可知：
　　
　　很明显，若假设由个细分的时间段组成，即，且由马尔可夫性每个时段内价格的变化相对独立，则由正态分布方差的可加性，标准差可以看作时段内价格变化的标准差加和而成。
　　 　　上述所有过程的推导都是基于股票不分红的假设条件之下的。
　　二、伊藤过程用于模拟股票价格
　　连续时间价格过程可以通过取一系列小段时期，然后一期一期地往前推移进行模拟。一共有两种方法可以模拟出价格过程，但他们都不是严格等价的。这两种方法一样好，可以证明看他们的差从长期是趋近于零的。本文仅选取其中一种进行模拟实验。
　　（一）推导
　　由倍数形式，可以得到离散形式的方程：
　　
　　进而可以推出：，这也是倍数模型，但随机系数是对数正态的。
　　（二）实验
　　假设一种股票，其初始价格，股票价格由如下几何布朗运动过程决定：
　　
　　选取基本的时间间隔为一个月，即。下面通过用上文中介绍的模型模拟出三年的股票价格，一共进行100次模拟。
　　首先布朗运动，将股票价格的几何布朗运动过程对应伊藤过程方程，容易看出，。由，可以求出。至此，便能够得到价格动态过程的模拟方程为：
　　
　　这样，每生成一组正态随机数，我们就可以对股票价格进行一组模拟运算论文格式范文。
　　 本文最终得到了100组三年股票价格的模拟数据，以下所示为其中一次模拟结果的图表：
　　表1股票价格动态的模拟
　　

　　三、伊藤过程用于预测
　　以“工商银行”（601398）作为估计对象（选取该股票是因为其属大盘股，非市场因素的影响相对较小），取该股票自2009年7月1日至2010年2月12日的开盘价作为样本数据，共有154个样本点，单位时间段为一天，即。第一天时，股价的对数为。
　　对样本数据取对数后，计算样本数据的平均值和标准差分别为
　　
　　
　　取和分别作为正态分布总体均值和方差的无偏估计，则可以得出在的时间段内预期收益率和波动率的估计值，即：
　　
　　
　　解出，，
　　则有：
　　利用上述估计出的参数，由股票价格变动的马可夫性可知：
　　
　　可以用其对股票的变化区间做出预测。当置信水平为95%时，则由区间估计不难得出，以95%的置信水平落在区间
　　内。
　　首先取时间段内的五个点来进行验证。对于t=20，50，80，110，140五个点，相关数据如表2所示。
　　表2样本数据
　　

依据伊藤过程，在95%置信水平下，这五天中股价变动的置信区间如表3所示。
　　表3置信区间
　　

对于未来某段时间内股价的变化，可采用此过程进行预测。取点t=155，156，157，158，159。在95%置信水平下，对此五个点的预测区间如表4所示。
　　表4预测区间
　　

此五个点上股价的实际值及其对数如见表5所示。
　　表5实际股价及其对数
　　

伊藤过程预测效果如下图所示。
　　
　　很明显，在时，数据的检验效果很好，而在时，预测效果则相对差一些。这是由于用于预测时，伊藤过程仍采用了前一时间段内的预期收益率和波动率参数来近似预测时间段内的参数。如果能够获取准确的总体预期收益率和波动率参数，伊藤过程将能够收到较好的预测效果。

参考文献
[1]David G.Luenberger. InvestmentScience[M]. 牛津大学出版社，1998.
[2]于庆年.股票价格对数正态分布的实证研究[J]. 辽宁财专学报，1999（4）.